Цилиндрическая система координат

Точка в цилиндрических координатах.

Цилиндрической системой координат называют трёхмерную систему координат, являющуюся расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты (обычно обозначаемой [math]\displaystyle{ z }[/math]), которая задаёт высоту точки над плоскостью.

Точка [math]\displaystyle{ P }[/math] даётся как [math]\displaystyle{ (\rho,\;\varphi,\;z) }[/math]. В терминах прямоугольной системы координат:

• [math]\displaystyle{ \rho\geqslant 0 }[/math] — расстояние от [math]\displaystyle{ O }[/math] до [math]\displaystyle{ P' }[/math], ортогональной проекции точки [math]\displaystyle{ P }[/math] на плоскость [math]\displaystyle{ XY }[/math]. Или то же самое, что расстояние от [math]\displaystyle{ P }[/math] до оси [math]\displaystyle{ Z }[/math].
• [math]\displaystyle{ 0\leqslant\varphi\lt 360^\circ }[/math] — угол между осью [math]\displaystyle{ X }[/math] и отрезком [math]\displaystyle{ OP' }[/math].
• [math]\displaystyle{ z }[/math] равна аппликате точки [math]\displaystyle{ P }[/math].

При использовании в физических науках и технике международный стандарт ISO 31-11 рекомендует использовать обозначения [math]\displaystyle{ (\rho,\;\varphi,\;z) }[/math].

Цилиндрические координаты удобны при анализе поверхностей, симметричных относительно какой-либо оси, если ось [math]\displaystyle{ Z }[/math] взять в качестве оси симметрии. Например, бесконечно длинный круглый цилиндр (цилиндрическая поверхность) в прямоугольных координатах имеет уравнение [math]\displaystyle{ x^2+y^2=c^2 }[/math], а в цилиндрических — очень простое уравнение [math]\displaystyle{ \rho=c }[/math]. Отсюда и идёт для данной системы координат имя «цилиндрическая».

Переход к другим системам координат

2 точки в цилиндрических координатах.

Поскольку цилиндрическая система координат — только одна из многих трёхмерных систем координат, существуют законы преобразования координат между цилиндрической системой координат и другими системами.

Декартова система координат

Основная статья: Прямоугольная система координат

Орты цилиндрической системы координат связаны с декартовыми ортами следующими соотношениями:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} \vec{e}_{\rho}=\cos\varphi\vec{e}_{x} + \sin\varphi\vec{e}_{y}, \\ \vec{e}_{\varphi}=-\sin\varphi\vec{e}_{x} + \cos\varphi\vec{e}_{y}, \\ \vec{e}_{z}=\vec{e}_{z}, \end{cases} }[/math]

и образуют правую тройку:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} \vec{e}_{\rho} \times \vec{e}_{\varphi}= \vec{e}_{z}, \\ \vec{e}_{z} \times \vec{e}_{\rho}= \vec{e}_{\varphi}, \\ \vec{e}_{\varphi} \times \vec{e}_{z}= \vec{e}_{\rho}. \end{cases} }[/math]

Обратные соотношения имеют вид:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} \vec{e}_{x}=\cos\varphi\vec{e}_{\rho} - \sin\varphi\vec{e}_{\varphi}, \\ \vec{e}_{y}=\sin\varphi\vec{e}_{\rho} + \cos\varphi\vec{e}_{\varphi}, \\ \vec{e}_{z}=\vec{e}_{z}. \end{cases} }[/math]

Закон преобразования координат от цилиндрических к декартовым:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} x=\rho\cos\varphi, \\ y=\rho\sin\varphi, \\ z=z. \end{cases} }[/math]

Закон преобразования координат от декартовых к цилиндрическим:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} \rho=\sqrt{x^2+y^2}, \\ \varphi=\mathrm{arctg}\left(\dfrac{y}{x}\right), \\ z=z. \end{cases} }[/math]

Якобиан равен:

[math]\displaystyle{ J=\rho. }[/math]

Дифференциальные характеристики

Цилиндрические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:

[math]\displaystyle{ g_{ij}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \rho^2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad g^{ij}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1/\rho^2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. }[/math]

• Квадрат дифференциала длины кривой

[math]\displaystyle{ ds^2=d\rho^2+\rho^2\,d\varphi^2+dz^2. }[/math]

• Коэффициенты Ламэ имеют вид:

[math]\displaystyle{ H_\rho=1,\quad H_\varphi=\rho,\quad H_z=1. }[/math]

• Символы Кристоффеля [math]\displaystyle{ \{\rho,\;\varphi,\;z\} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \Gamma^1_{22}=-\rho,\quad\Gamma^2_{21}=\Gamma^2_{12}=\frac{1}{\rho}. }[/math]

Остальные равны нулю.

Дифференциальные операторы

Градиент в цилиндрической системе координат:

[math]\displaystyle{ \mathrm{grad}\,\psi=\vec e_\rho\frac{\partial\psi}{\partial\rho}+\vec e_\varphi\frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\varphi}+\vec e_z\frac{\partial\psi}{\partial z}. }[/math]

Дивергенция в цилиндрической системе координат:

[math]\displaystyle{ \mathrm{div}\,\vec a=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\rho a_\rho}{\partial\rho}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial a_\varphi}{\partial\varphi}+\frac{\partial a_z}{\partial z}. }[/math]

Ротор в цилиндрической системе координат:

[math]\displaystyle{ \mathrm{rot}\,\vec a= \mathrm{det} \begin{pmatrix} \frac{1}{\rho}\vec e_\rho & \vec e_\varphi & \frac{1}{\rho}\vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\varphi} & \frac{\partial}{\partial z} \\ a_\rho & \rho a_\varphi & \ a_z \end{pmatrix} = \vec e_\rho\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial a_z}{\partial\varphi}-\frac{\partial a_\varphi}{\partial z}\right)+ \vec e_\varphi\left(\frac{\partial a_\rho}{\partial z}-\frac{\partial a_z}{\partial\rho}\right)+ \vec e_z\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\rho a_\varphi}{\partial\rho}-\frac{1}{\rho}\frac{\partial a_\rho}{\partial\varphi}\right). }[/math]

Выражения для радиус-вектора, скорости и ускорения в цилиндрических координатах

[math]\displaystyle{ r(t)=\rho \vec{e}_{\rho} + z \vec{e}_{z} }[/math]

[math]\displaystyle{ \dot{r}(t)=\dot{\rho} \vec{e}_{\rho} + \rho \dot{\varphi} \vec{e}_{\varphi} + \dot{z} \vec{e}_{z} }[/math]

[math]\displaystyle{ \ddot{r}(t)=(\ddot{\rho} - \rho \dot{\varphi}^2) \vec{e}_{\rho} + (2\dot{\rho}\dot{\varphi} + \ddot{\varphi}\rho) \vec{e}_{\varphi} + \ddot{z} \vec{e}_{z} }[/math]

См. также

• Углы Эйлера
• Цилиндрические шахматы

Литература

• Халилов В.Р., Чижов Г.А., Динамика классических систем: Учеб. пособие. — М.: Изд-во МГУ, 1993. — 352 с.